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bd31.12. title: The pointwise convergence condition is limited in that it does not consider specific points of discontinuity, thus requiring a stronger condition of convergence. One such condition is uniform convergence.

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💡 아이디어조각

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The pointwise convergence(from2) condition is limited in that it does not consider specific points of discontinuity, thus requiring a stronger condition of convergence. One such condition is uniform convergence(from3).

For example:

The sequence of functions fnf_nfn​ converges pointwise to fff. Although fnf_nfn​ is continuous for every possible nnn, the pointwise limit function fff is not continuous(참고2).

f_n(x)=\frac{nx}{nx+1},\ x\in[0,1]

f(x) = 0\ (x=0),\ f(x)=1\ (x\neq0)

The function FFF generated by the series of functions converges pointwise to the continuous original function fff, but the generated function FFF is not continuous(참고1).

f(x) = \frac{x}{2},\ x\in[-\pi,\pi]

F(x)=\sum_{n=1}^{\infin}{(-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}}

parse me : 언젠가 이 글에 쓰이면 좋을 것 같은 재료들.

None

from : 과거의 어떤 생각이 이 생각을 만들었는가?

supplementary : 어떤 새로운 생각이 이 문서에 작성된 생각을 뒷받침하는가?

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opposite : 어떤 새로운 생각이 이 문서에 작성된 생각과 대조되는가?

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to : 이 문서에 작성된 생각이 어떤 생각으로 발전되고 이어지는가?

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참고 : 레퍼런스

아벨은 푸리에 급수를 이용해서 코쉬가 증명한 명제의 허점을 정확히 찔렀다. 삼각 함수를 이용해 만든 무한 급수는 연속 함수의 무한 합이지만, 어떤 경우에는 불연속이 될 수 있다. 아벨은 아래와 같은 푸리에 급수를 이용해서 코쉬가 틀렸음을 확실히 증명했다. 무한 급수는 잘 수렴하지만 특정 지점에서 문제가 생긴다.

Sequence and series of functions Excercise 4

bd3__1.1__2. title: The pointwise convergence condition is limited in that it does not consider specific points of discontinuity, thus requiring a stronger condition of convergence. One such condition is uniform convergence.

bd31.12. title: The pointwise convergence condition is limited in that it does not consider specific points of discontinuity, thus requiring a stronger condition of convergence. One such condition is uniform convergence.