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deer.a2_2.1_2.1.1. title: NDC (Normalized Device Coordinate) 과 Perspective projection (+matrix) 사이의 관계

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deer.a2_2.1_2.1.1.3. title: 원근(투시)변환, 원근투영변환, 호모그래피는 차원변화 관점에 따라 달리 사용되는 미묘하게 다른 용어이다. 호모그래피와 원근투영변환이 같은 용어로 여겨지는 이유는 피사체가 평평한 평면임을 전제하기 때문이다.

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그림 (참고4)

위 그림처럼 Left, Top, Bottom, Right 과 Near, Far 로 둘러싸인 각뿔대를 view volume 또는 viewing frustum (시야 사각뿔대: viewing Frustum) 이라고 부른다.

그림 (참고3)

우리 눈 또는 카메라

(x=0, y=0, z=0)

는 위 그림 왼쪽 사각뿔대(Pyramid Frustum) 형태의 공간에 있는 물체들에 대한 정보들을 near plane 이라는 2D 평면에 투영시킨다. Perspective projection (Perspective Projection Transform) 은 이러한 사각뿔대 모양의 공간을(3D) 오른쪽 그림과 같은 직육면체 큐브(참고12,13:정육면체 아님) 공간(Canonical View Volume) 과 그 좌표계(Normalized Device Coordinate) 로(3D) 변환하는 것을 의미한다 (참고5, 6). 이때 Canonical View Volume 은 이름에도 나타나 있듯 정규화되어 (참고6) [-1, 1] 범위에만 존재한다 (참고12,13:Z방향은API 마다 다름). 이는 유연한 해상도 조절에 도움이 된다 (참고11).

분명히 projection 을 번역하면 ‘투영’ 이고, ‘투영’ 이란 3D 정보를 2D 로 구겨넣는 것을 의미하는데 (참고10:perspective projection transform vs homography vs perspective transform), perspective projection 이 3D → 3D 의 의미를 가진다니! 도대체 어찌된 일일까. 추측하기로는, 어차피 near plane 으로부터 변환(transform) 된 canonical view volume 의 한 면으로 volume 내 모든 좌표값을 정사영시키면 (z 값을 삭제해버리면) 바로 2D 정보를 얻어낼 수 있게 되기 때문에 사실상 2D 영상을 두 장 가지고 있다고 생각할 수 있을 것이라는 생각이 있지 않았을까. 물론 Projection 이라는 단어의 사전적 정의는 3D 를 2D 로 만드는 것이고 수학 및 컴퓨터비전에서는 3D → 2D 라는 투사과정에 주목하지만, 컴퓨터그래픽스에서는 평면처럼 보이지만 다시 3D 정보를 구해내야 할 경우에 대비한 reprojection 이나 depth testing (질문) 을 대비하여 (참고11) 3D → 2D 를 포함하는 3D → 3D 과정에 더 집중한다고 생각하면 편할 것 같다 (참고7, 13).

정리해 보면 이 projection 이라는 단어가 3D → 2D 과정을 의미하기도 하고, 3D → 3D 과정을 의미하는 것 같아 헷갈리는 것이 사실이지만 우리가 컴퓨터그래픽스를 다루는 동안에는 Perspective projection 이란 3D → 3D 과정이라는 것, (참고8) Perspective projection matrix 는 3D(Frustum)→3D(NDC) 변환을 표현한 행렬을 의미한다는 것을 기억하자.

이 카메라 좌표계(또는 눈 좌표계) 의 viewing frustum 에 perspective projection 이라는 것을 적용하여 NDC 의 canonical view volume 으로 매핑하면 어떤 일이 일어나는 것인지 아래 그림을 통해 시각적으로 알아보자.

그림 (참고9)

Viewing frustum 의 near plane 과 카메라좌표계의 image plane 과 무슨 상관이 있는건가요? focal length 만큼 떨어져있는 평면이라는 점에서 똑같아보이는데 동시에 설명한 글을 찾을수가 없었습니다.

image plane 에서는 w, h 의 단위가 pixel 인걸로 알고 있는데, near plane 에서도 pixel 로 단위가 정의되는지

Projection 인데 3D → 3D 변환처럼 설명하는 글들이 보이는 이유

perspective projection matrix 와 projection matrix (camera matrix) 사이의 관계

depth testing 을 아주 쉽게 설명하면?

참고

19p, NDC ray space derivation, Here we derive the transformation which is applied to rays to map them from camera space to NDC space. The standard 3D perspective projection matrix for homogeneous coordinates is

In perspective projection, a 3D point in a truncated pyramid frustum (eye coordinates) is mapped to a cube (NDC); the range of x-coordinate from [l, r] to [-1, 1], the y-coordinate from [b, t] to [-1, 1] and the z-coordinate from [-n, -f] to [-1, 1]. 

Perspective Frustum and Normalized Device Coordinates (NDC) 

The near plane of the OpenGL camera is the counterpart of the physical... | Download Scientific Diagram 

Canonical view volume 이란 normalized 된 좌표계의 공간을 말한다. Projection Transformation의 결과로 생성되며, 이 공간을 Screen Space 로 바꾸기 위해서 Viewport Transformation을 거쳐주면 최종적인 산물이 나온다.

컴퓨터 그래픽스에서의 projection은 주로 3D coordinate를 2D screen coordinate로 매핑하는 것을 말한다. 그러나 실제로 하는 것은 3D → 3D으로, 임의의 view volume을 canonical view volume으로 매핑하는 것이다. 

위에서 구한 식은 Perspective projection matrix로 아직 Canonical space로 보내지 않은 상태이다. 즉 우리는 한번더 Orthographic transformation을 가하여서 Canonical space로 보내야한다. 

Perspective projection은 viewing frustum을 canonical view volume으로 매핑하는 것이다. View volume이 frustum이기 때문에 이를 정육면체(canonical view volume)로 변환하면 먼 부분은 작아지게 된다. 이렇게 함으로써 원근효과가 나타난다. 

10.

deer.a2_2.1_2.1.1.3. title: 원근(투시)변환, 원근투영변환, 호모그래피는 차원변화 관점에 따라 달리 사용되는 미묘하게 다른 용어이다. 호모그래피와 원근투영변환이 같은 용어로 여겨지는 이유는 피사체가 평평한 평면임을 전제하기 때문이다.

11.

먼저 특이한 점은 NDC에 x, y 뿐만 아니라 z 값이 있다는 것입니다. 3차원에서 2차원으로 가는 핵심 변환이 Projection Transform이고 변환 후의 공간이 NDC 공간인데 정작 NDC 공간이 3차원이라는 점을 의아해 하실 수 있습니다. NDC 공간에 z 값이 있는 이유는 크게 2가지 입니다. 첫 번째 이유는 z 값이 나중에 depth testing을 할 때 쓰이기 때문입니다. depth testing이란 간단하게 말하면 더 앞에 있는 점을 그리기 위해 depth 값을 비교하는 것입니다. 두 번째 이유는 z 값을 따로 저장해놓지 않으면 projection의 역연산인 unprojeciton을 하지 못하기 때문입니다. 

12.

Regardless of platform, the NDC for left/right/top/bottom bounds will be the same: the range of the x-coordinate from [l, r] to [-1, 1], the y-coordinate from [b, t] to [-1, 1]. Unfortunately, the depth coordinate will differ based on whether you are in an OpenGL-like platform or a Direct3D-like one. 

13.

Q. Projection 이라는 단어 그 자체가 3d -> 2d 의 뜻을 내포하고 있는데 Clip space (또는 NDC) 도 3d 공간이지 않나요? Projection transform 이 3d -> 3d 변환인건 그냥 관례적인건가요? A. 3D->2D처리는 clip space 이후 뭐 컬링이다 해서 필요없는 부분 자르고 이후 viewport transform인가 screen space(2D)로 넘어가요. 그 다음에 또 레스터라이저 넘어가는데, 여기서 projection 자체가 수학적으로 정사영, 투사 개념은 아니에요. 